I. Propriétés Mathématiques

Phi possède de nombreuses propriétés mathématiques et algébriques, comme par exemple:

1. Le carré du nombre d’or:

Pour calculer le carré du nombre d'or, il suffit de lui ajouter 1 :.

2. Inverse du nombre d’or:

Pour calculer l'inverse du nombre d'or, il suffit de lui enlever 1 :

3. Puissances du nombre d’or:

4. Propriétés trigonométriques du nombre d’or:

, c'est-à-dire .

5. La suite de Fibonacci:

La suite de Fibonacci est une suite de nombres entiers. Elle a été définie par Fibonacci à l'occasion de recherches mathématiques sur la prolifération des lapins. Il s'est basé sur le fait que: - un couple de lapin donne naissance à uniquement un autre couple de lapins ( Deuxième génération) ainsi de suite.

Ce qui donne le schéma ci-dessous:

Cela donne la suite:

(n étant un nombre entier positif)

Un=U(n-1)+U(n-2)

Voici le début de cette suite:

0,1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144… jusqu’à l’infini.

Un nombre de la suite est le résultat de la somme de ses deux précédents.

Voici maintenant pourquoi le nombre d'or et la suite de Fibonacci sont étroitement liés:

1/0 est impossible

1/1=1

2/1=2

3/2=1.5

5/3=1.6666….

8/5=1.6

13/8=1.625

21/13=1.61538…

34/21=1.61904

C'est ainsi qu'en continuant de la sorte, les valeurs des fractions de Fibonacci

s'approchent du nombre d'or (soit 1,618...) lorsque n est très grand

II. Propriétés géométriques

Le rectangle d'or

Un rectangle d'or est un rectangle dont le rapport longueur sur largeur est égal au nombre Φ.

Ce rectangle est harmonieux,il est parfaitement proportionné et statistiquement il a la préférence lorsqu'on le compare à d'autres rectangles de formes diverses. ( voir introduction).

Comment construire un rectangle d'or?

Il est très simple de construire un rectangle d'or.

Et voilà, le tour est joué!

La spirale d'or:

La figure est construite à partir d'un grand rectangle d'or.
On retire le grand carré au grand rectangle d'or et on obtient un petit rectangle d'or.
Ensuite, on retire le petit carré au petit rectangle d'or et on obtient un rectangle d'or plus petit.
On réitère l'opération indéfiniment. Elle ne s'arrête pas car la longueur et la largeur d'un rectangle d'or sont incommensurables (on ne peut pas mesurer l'un en prenant l'autre pour unité).

On obtient donc le figure ci-dessous:

Cette courbe est connue sous le nom de 'spirale logarithmique'. ( spirale qui a pour équation polaire )

On appelle quelquefois l'œil de Dieu le point d'intersection des deux diagonales.

Le triangle d'or

Un triangle d'or est un triangle isocèle dont les longueurs des côtés sont dans le rapport du nombre d'or.

Les deux triangles d'or possibles

Leurs angles mesurent 36 ° et 72°.

L'un de ces deux triangles est notamment la forme caractéristique des pyramides de l'ancienne Égypte d'où la présence de phi dans ces monuments.( pyramide de khéops)

Le pentagone régulier:

Dans le pentagone régulier ci-dessous, le triangle ABC et le triangle ACD sont tous deux des triangles isocèles dont les longueurs des côtés sont dans le rapport du nombre d'or : ce sont deux triangles d'or.

Un pentagone régulier peut être trouvé dans un pentacle, mais aussi d'après la forme d'une fleur à 5 pétales ( voir partie histoire) .

D'où, nous nous posons la question, est-il possible de retrouver le nombre d'or dans la nature ?