I. L'histoire du nombre d'or

La découverte empirique (qui s'appuie sur des expérimentation)du nombre d'or remonte à l'antiquité la plus reculée. Il n'est pas impossible que cette découverte remonte même à la préhistoire. En effet, il suffit de tracer un cercle et de le diviser en cinq parties égales pour en venir à construire un pentagone régulier et avoir sous les yeux le nombre d'or.( division par 5 qui a pu être suggérée par la grande variété de fleurs à cinq pétales.)

Mais c'est en majeure partie aux Grecs que l'on doit aussi cette découverte grâce à leur science de la géométrie extrêmement développée. Notamment dans les Éléments d'Euclide où le nombre d'or apparaît comme un nombre irrationnel sous la forme de ½ (1+). A cette époque, le nombre d'or n'avait pas encore de nom. D'autres mathématiciens Grecs célèbres ont également travaillé sur ce nombre comme Thalès ou encore Pythagore, mais c'est à Euclide que l'on doit un véritable traité écrit. A cette époque il avait déjà une valeur mystique en raison de sa présence dans le pentagone étoilé ( pentacle) auquel les Grecs attribuaient une valeur symbolique.

Au Moyen Age, l'une des figures les plus importantes à se consacrer au nombre d'or est Léonard de Pise, appelé aussi Fibonacci (1180). On lui doit notamment la suite de Fibonacci encore utilisée de nos jours.( Le principe de cette suite est expliqué dans la partie définition mathématique du nombre d'or).

Pendant la Renaissance le nombre d'or est présent dans l'ouvrage Divina proportione ,écrit par Luca Pacioli (1509). Cet ouvrage a également été illustré par Léonard de Vinci.

Illustration de Léonard de Vinci dans

Divina proportione.

A l'époque contemporaine il est surtout repris par des artistes comme le peintre Sérusier et l'architecte Le Corbusier (Modulor).De nos jours, On le désigne par la lettre grecque φ ( phi ) en hommage au sculpteur grec Phidias (né vers 490 et mort vers 430 avant J.C) qui décora le Parthénon à Athènes. C'est Théodore Cook qui introduisit cette notation en 1914.

Modulor, Le Corbusier. Parthénon, Athènes.

Enfin, on peut dire que l'étude historique du nombre d'or en est encore à ses débuts, qu' elle présente de multiples aspects incertains ou inconnus et qu'en conséquence, elle attire de nombreux curieux et chercheurs. Mais, notamment une question reste sans réponse depuis quand appelle t-on le nombre d'or, « nombre d'or »?C'est une question à laquelle malheureusement, on ne peut qu'apporter des suppositions. Est-ce à cause de Léonard de Vinci et sa «sectio aurea» (section d'or) ou bien est-ce à cause Zeising et de son livre Der goldene Schnitt ?

II. Principe mathématique du nombre d'or

Le nombre d'or est la solution positive de l'équation : , c'est-à dire le nombre =1,618 033 988 749 894 848 204 586 834 365 638 117 720 309 179 805 762 862 135 448 622 705 260 462 189 024 497 072 072 041...

Mais comment retrouver cette équation qui donne le nombre d'or?

«Une droite est dite coupée en extrême et moyenne raison quand,
comme elle est toute entière relativement au plus grand segment,
ainsi est le plus grand relativement au plus petit.»
Euclide, Eléments, livre VI, 3ème définition.

«Il y a de la petite partie à la grande, le même rapport que la grande au tout», selon vitruve ,( architecte romain ayant écrit un traité mathématiques illustré par le célèbre : Homme de Vitruve ,de Léonard de Vinci.

Étude des proportions du corps humain:

Nous allons donc essayer de retrouver l'équation du nombre d'or en suivant ce précepte.
Ainsi si a et b sont les deux grandeurs alors nous aurons :

b<a
a/b = (a + b) / a
a/b = 1 + b/a
pour simplifier, prenons comme variable x = a/b.
alors nous obtenons :
x = 1 + 1/x
x - 1 - 1/x = 0
comme x non nul, nous obtenons l'équation suivante que nous noterons

      x² - x - 1 = 0
qui admet comme racine positive :
x =
que nous notons Φ et vaut à peu près 1,618....

Anecdote:

Le record de calcul des décimales date de 1998 et a été réalisé par Simon Plouffe : 10 000 000 décimales (29 minutes de calcul).